Analysis and synthesis of feedforward neural networks using

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1 dies ist nat¨urlich etwas ganz anderes als der Begriff Divergenz im Sinne von NichtKonvergenz I. Differentialrechnung im Rn 54 Mit Hilfe des Nabla-Operators schreibt sich diese Formel folgendermaßen: ∇, f v = ∇ f , v + f ∇, v . 7) Beispiel. Wir betrachten das Vektorfeld F : Rn 0 −→ Rn , F(x) := xr , r = x . 5) x 1 1 n n−1 x div r = grad r , x + r div x = − 3 , x + r = r . r H¨ohere Ableitungen Sei U ⊂ Rn offen und f :U → R eine partiell differenzierbare Funktion. Sind alle partiellen Ableitungen Di f :U → R selbst wieder partiell differenzierbar, so heißt f zweimal partiell differenzierbar.

Xk )/2). Sind jetzt x, x ∈ X zwei beliebige Punkte mit x, x {1, . , k} mit x ∈ Bδ(x j )/2 (x j ), < δ, so gibt es ein j ∈ und deshalb x ∈ Bδ(x j ) (x j ). d. Bemerkung. Der Satz, dass jede stetige Funktion f : I → R auf einem kompakten Intervall I ⊂ R gleichm¨aßig stetig ist (An. 1, § 11, Satz 4), ist ein Spezialfall von Satz 9. 1. Man zeige, dass die Vereinigung von endlich vielen kompakten Teilmengen eines metrischen Raumes wieder kompakt ist. 2. Sei (X , d) ein metrischer Raum mit der trivialen Metrik, vgl.

F¨ur x ∈ X werde definiert ϕ(x) := max( f (x), g(x)), ψ(x) := min( f (x), g(x)). Man zeige, dass die Funktionen ϕ, ψ : X → R stetig sind. 2. Sei W der offene W¨urfel im Rn , W := {(x1 , . . , xn ) ∈ Rn : |xi | < 1 f¨ur i = 1, . . , n} Man konstruiere einen Hom¨oomorphismus von W auf die Einheitskugel B1 (0) = {x ∈ Rn : x < 1}. 3. Man zeige, dass der Vektorraum C [a, b] aller stetigen Funktionen f : [a, b] → R auf dem kompakten Intervall [a, b] ⊂ R mit der Supremumsnorm f := sup{| f (x)| : x ∈ [a, b]} vollst¨andig ist.

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